Поверхности второго порядка.

Поверхности второго порядка.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Чувашский государственный университет имени Ульянова»

Кафедра высшей математики

Курсовая работа на тему:

«Классификация поверхностей второго порядка»

Введение.

В этой работе содержится материал по поверхностям второго порядка. Что такое квадрика ( или поверхность второго порядка ), даны все возможные семнадцать видов квадрик, их канонические формулы, изображения и основные свойства.

Уделено внимание возможным видам любого многочлена второй степени в пространстве, возможным видам квадрики ( доказывается что их всего семнадцать).

Затронуты свойства эллипсоида, однополостного и двуполостного гиперболоидов, конуса второго порядка, гиперболического параболоида. Рассматриваются прямолинейные образующие у отдельных видов поверхностей второго порядка. Приведено решение типичных задач Поверхности второго порядка..

Поверхности второго порядка.

Поверхности второго порядка задаются в некоторой аффинной системе координат уравнением:

F(x,y,z) = a11x² + a22y² + a33z² + 2∙a12xy + 2∙a13xz + 2∙a23yz +

└─────────────┬───────────────┘

q( x, y, z) квадратичная часть

+ 2∙a1x + 2∙a2y + 2∙a3z + a0 = 0

└─────┬────┘

L ( x, y, z ) однородная линейная часть

При этом требуется , чтобы квадратичная часть была отлична от нуля. Если ввести обозначения:

a11 a12 a13 a11 a12 a13 a1 x
Q:= a12 a22 a23 , A:= a12 a22 a23 a2 , L:= (a1, a2 a3) .X:= y
a13 a23 a33 a12 a23 a33 a3 z
a1 a2 a3 a0

то уравнение примет вид:


x

XTQX + LX + a Поверхности второго порядка.0 = (x,y,z,1)A y

z

Определение. Алгебраической поверхностью второго порядка (квадрикой) называется поверхность S, уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид:

,

где по крайней мере одна из шести величин A, B, C, D, E, F не равна нулю. Если это уравнение не удовлетворяется ни одной действительной точкой x=(x1, x2, x3), то говорят, что оно определяет мнимую поверхность.

Теорема Пусть в некоторой прямоугольной системе координат задана квадратичная часть q(x, y, z). Тогда найдется другая прямоугольная система с тем же началом , в которой квадратичная часть примет диагональный вид:

q (x′, y′, z′) + λ1(x′)2+ λ 2(y′)2+ λ 3(z′)2

где Поверхности второго порядка. λ1,λ2,λ3- собственные значения Q , то есть корни характеристического многочлена :

Xq(λ)=det(Q- λE)=0,

а новые базисные вектора e'1 e'2 e'3 являются соответствующими собственными векторами. В частности , все собственные значения вещественны , а собственные вектора , отвечающие различным собственным значениям , ортогональны.



Лемма. Для любого многочлена второй степени в пространстве существует прямоугольная система координат , в которой он принимает один из следующих пяти видов :

(I) F= λ1x2 + λ2y2 + λ3z2 + τ (λ1 λ2 λ3 ≠0);

(II) F=λ1x2 + λ2y2 + 2b3z (λ1 λ2 b3≠0);

(III) F= λ1 x2 + λ2 y2+ τ (λ1 λ2 ≠0);

(IV) F= λ1 x2 + 2c2y (λ1 c2 ≠0);

(V) F= λ1 x2 + τ (λ1 ≠0);

Доказательство. В силу предыдущей теоремы можем найти такую прямоугольную систему , в которой квадратичная часть диагональна , то есть Поверхности второго порядка.:

F= λ1x2 + λ2y2 + λ3z2 + 2b1x + 2b2y + 2b3z + b0=0

Рассмотрим все возможные случаи.

(I). При λ1 λ2 λ3 ≠0 имеем:

F=λ1( x + b1/ λ1 )2 +λ1 ( y + b2 / λ2 )2 + λ3(x + b3 / λ3)2 + ( b0 – (b1)2/ λ1 - (b2)2/ λ2 -

- (b3)2/ λ3) = λ1(x')2 + λ2(y')2 + λ3(z')2 + τ.

(II) При λ3 =0 и λ1 λ2 b3 ≠ 0 имеем:

F = λ1(x+b1/ λ1 ) 2 + λ1(y+ b2/ λ2) 2 + 2b3z + ( b0 – (b1)2/ λ1 - (b2)2/ λ2)=

=λ1(x')2 + λ2(y')2 + 2b3z + τ = λ1x2 + λ2y2 + 2b3( z+ τ /2b3)= λ1x2 + λ2y2 + 2b3z'.

(III) При λ3= b3 =0 и λ1 λ2 ≠ 0 имеем:

F = λ1(x+b1/ λ1) 2 + λ1 (y+ b2/ λ2) 2 + ( b0 – (b1)2/ λ1 - (b2)2/ λ2)=

= λ1(x')2 + λ2(y')2 + τ.

(IV) При λ3= λ 2=0 , λ1≠0 и хотя бы один из b2 и b3 не равен нулю. Тогда имеем:

F = λ1(x + b1/ λ1) 2+ 2b2y + 2b3z + ( b0 – (b1)2/ λ1) = λ1(x Поверхности второго порядка.')2 + 2c2y'.

Где:

x' = x + b1/ λ1 , c2 = ( (b2)2+(b3)2 )1 / 2

y' = ( (b2)2 +(b3)2 )-1/2 ( b2y + b3z + 1/2( b0 – (b1)2/ λ1 ))

z'=( (b2)2 +(b3)2 )-1/22 ( – b3y + b2z ).

Такая “нормировка” функций перехода гарантирует ортогональность соответствующей матрицы и, тем самым ортогональность замены.

Если же b2 = b3 = 0 , то мы сразу имеем выражение конечного вида.

(I). Пусть λ3 = λ2 = b2 = b3 = 0 и λ1 ≠0. Тогда имеем:

F = λ1(x + b1/ λ1) 2 + ( b0 – (b1)2/ λ1 ) = λ1(x')2 + τ.

Лемма доказана.


documentazoieyb.html
documentazoimij.html
documentazoitsr.html
documentazojbcz.html
documentazojinh.html
Документ Поверхности второго порядка.